Misalkan \(F\) tertutup dan \(A\subseteq F\text{.}\) Jika \(x\notin F\text{,}\) karena \(X\setminus F\) terbuka, ada \(r\gt0\) dengan \(B(x,r)\subseteq X\setminus F\text{.}\) Bola itu tidak memotong \(A\text{,}\) sehingga \(x\notin\overline A\text{.}\) Kontrapositifnya memberi \(\overline A\subseteq F\text{.}\)

Biarkan \(\mathcal F\) menjadi keluarga semua himpunan tertutup yang memuat \(A\text{,}\) dan tetapkan \(G=\bigcap_{F\in\mathcal F}F\text{.}\) Hasil paragraf pertama memberi \(\overline A\subseteq G\text{.}\) Penutup \(\overline A\) sendiri memuat \(A\) dan tertutup: memang, jika \(x\notin\overline A\text{,}\) ada \(r\gt0\) sehingga \(B(x,r)\cap A=\emptyset\text{.}\) Untuk setiap \(y\in B(x,r/2)\text{,}\) bola \(B(y,r-d(x,y))\) termuat dalam \(B(x,r)\) dan tidak memotong \(A\text{.}\) Jadi \(B(x,r/2)\subseteq X\setminus\overline A\text{,}\) sehingga komplemen tutupan terbuka. Dengan demikian \(\overline A\in\mathcal F\text{,}\) sehingga \(G\subseteq\overline A\text{.}\) Maka \(G=\overline A\text{.}\) Selain itu, komplemen \(G\) adalah gabungan komplemen-komplemen terbuka dari anggota \(\mathcal F\text{,}\) sehingga terbuka. Jadi \(G\text{,}\) dan karenanya \(\overline A\text{,}\) tertutup.