Jika \(x\in\overline A\) dan \(x\in A\text{,}\) tetapkan \(a_n=x\) untuk semua \(n\text{.}\) Jika \(x\in\overline A\setminus A\text{,}\) setiap bola \(B(x,1/n)\) bertemu \(A\text{;}\) pilih \(a_n\) dari irisan itu. Dalam kasus kedua \(d(a_n,x)\lt1/n\text{,}\) dan dalam kasus pertama jaraknya nol. Jadi pada kedua kasus \(a_n\to x\) dengan semua \(a_n\in A\text{.}\)

Untuk arah balik, andaikan \(a_n\in A\) dan \(a_n\to x\text{.}\) Bagi setiap \(r\gt0\text{,}\) ada indeks \(N\) sehingga \(a_n\in B(x,r)\) bila \(n\geq N\text{.}\) Maka bola tersebut memotong \(A\text{.}\) Semua bola di \(x\) memotong \(A\text{,}\) jadi \(x\in\overline A\text{.}\)