Ambil \(x\in A\text{.}\) Bila setiap bola di \(x\) memuat anggota \(A\) selain \(x\text{,}\) maka \(x\in A'\text{.}\) Bila tidak, ada \(r\gt0\) dengan \(B(x,r)\cap(A\setminus\{x\})=\emptyset\text{.}\) Karena pusatnya berada dalam \(A\text{,}\) ini berarti \(B(x,r)\cap A=\{x\}\text{,}\) maka \(x\in A^i\text{.}\) Jadi \(A\subseteq A'\cup A^i\text{.}\)

Sekarang, jika \(x\in A^i\text{,}\) sebuah bola pengisolasi di \(x\) tidak memuat anggota \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Karena titik limit mengharuskan setiap bola memuat anggota demikian, \(x\notin A'\text{.}\) Jadi \(A'\cap A^i=\emptyset\text{.}\)