Andaikan dahulu \(x\) adalah titik limit dari \(A\text{.}\) Setiap bola terbuka \(B(x,r)\) merupakan lingkungan dari \(x\text{.}\) Menurut definisi titik limit, bola itu memuat suatu titik dari \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\)

Sebaliknya, andaikan setiap bola terbuka berpusat di \(x\) memuat suatu titik dari \(A\setminus\{x\}\text{.}\) Ambil lingkungan sebarang \(N\) dari \(x\text{.}\) Berdasarkan definisi lingkungan dalam ruang metrik, ada \(r\gt0\) sehingga \(B(x,r)\subseteq N\text{.}\) Hipotesis memberikan titik \(a\in B(x,r)\cap(A\setminus\{x\})\text{;}\) karena \(B(x,r)\subseteq N\text{,}\) titik yang sama berada di \(N\cap(A\setminus\{x\})\text{.}\) Jadi setiap lingkungan dari \(x\) memuat anggota \(A\) yang berbeda dari \(x\text{,}\) tepat definisi bahwa \(x\) adalah titik limit dari \(A\text{.}\)