Setiap titik interior \(A\) berada dalam \(A\subseteq\overline A\text{.}\) Setiap titik batas juga berada dalam \(\overline A\text{,}\) sebab setiap bolanya bertemu \(A\text{.}\) Jadi \(\Int(A)\cup\Bdry(A)\subseteq\overline A\text{.}\)

Ambil \(x\in\overline A\setminus\Int(A)\text{.}\) Setiap bola di \(x\) bertemu \(A\) karena \(x\in\overline A\text{.}\) Karena \(x\) bukan interior, tidak ada bola di \(x\) yang termuat dalam \(A\text{;}\) jadi setiap bola juga bertemu \(X\setminus A\text{.}\) Maka \(x\in\Bdry(A)\text{,}\) yang membuktikan inklusi sebaliknya. Akhirnya, titik interior memiliki satu bola yang tidak bertemu komplemen, sedangkan titik batas menuntut semua bola bertemu komplemen. Karena itu \(\Int(A)\cap\Bdry(A)=\emptyset\text{,}\) sehingga gabungan tersebut saling lepas.