Andaikan \(x\in\overline A\text{.}\) Jika \(x\in A\text{,}\) barisan konstan \(a_n=x\) berada dalam \(A\) dan konvergen ke \(x\text{.}\) Jika \(x\notin A\text{,}\) setiap bola di \(x\) bertemu \(A\text{;}\) untuk tiap \(n\text{,}\) pilih \(a_n\in A\cap B(x,1/n)\text{.}\) Maka \(d(a_n,x)\lt1/n\to0\text{,}\) jadi \(a_n\to x\text{.}\)

Sebaliknya, misalkan \(a_n\in A\) dan \(a_n\to x\text{.}\) Untuk setiap \(r\gt0\text{,}\) ada \(N\) sehingga \(d(a_N,x)\lt r\text{.}\) Jadi \(a_N\in A\cap B(x,r)\text{,}\) sehingga setiap bola di \(x\) memotong \(A\text{.}\) Inilah karakterisasi keanggotaan dalam tutupan, maka \(x\in\overline A\text{.}\)