Ambil \(x\in A\text{.}\) Jika \(x\in A'\text{,}\) jelas \(x\in A'\cup A^i\text{.}\) Jika \(x\notin A'\text{,}\) tidak benar bahwa setiap bola di \(x\) memuat titik \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Jadi terdapat \(r\gt0\) dengan \(B(x,r)\cap(A\setminus\{x\})=\emptyset\text{.}\) Karena \(x\in A\cap B(x,r)\text{,}\) diperoleh \(B(x,r)\cap A=\{x\}\text{,}\) sehingga \(x\in A^i\text{.}\) Kedua kasus membuktikan inklusi.