Karena titik terasing, menurut definisi, harus menjadi anggota \(A\text{,}\) berlaku \(A^i\subseteq A\text{.}\) Maka \(A'\cup A^i\subseteq A'\cup A\text{.}\) Untuk inklusi sebaliknya, ambil \(x\in A\cup A'\text{.}\) Jika \(x\in A'\text{,}\) tidak ada lagi yang perlu dibuktikan. Jika \(x\in A\setminus A'\text{,}\) ada bola terbuka di \(x\) yang tidak memuat titik \(A\) selain \(x\text{;}\) karenanya \(x\in A^i\text{.}\) Jadi \(A\cup A'\subseteq A'\cup A^i\text{,}\) dan kedua himpunan sama.