Ambil \(x\in X\setminus B[a,r]\text{.}\) Maka \(\delta=d(a,x)-r\gt0\text{.}\) Jika \(y\in B(x,\delta)\text{,}\) pertidaksamaan segitiga memberi
\begin{equation*}
d(a,y)\geq d(a,x)-d(x,y)
\gt d(a,x)-\delta=r.
\end{equation*}
Jadi \(y\notin B[a,r]\text{,}\) dan \(B(x,\delta)\subseteq X\setminus B[a,r]\text{.}\) Setiap titik komplemen merupakan titik interior komplemen; komplemen itu terbuka, sehingga \(B[a,r]\) tertutup.