Ambil sembarang lingkungan \(N\) dari \(x\text{.}\) Andaian \(x\notin A\) berarti \(x\in X\setminus A\text{;}\) karena \(x\in N\text{,}\) lingkungan tersebut memuat titik di luar \(A\text{.}\) Di sisi lain, \(x\in\overline{A}=A\cup A'\) dan \(x\notin A\text{,}\) sehingga \(x\in A'\text{.}\) Oleh definisi titik limit, \(N\) memuat suatu anggota \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Jadi setiap lingkungan \(x\) memuat titik dari \(A\) dan dari \(X\setminus A\text{.}\) Dengan demikian \(x\in\Bdry(A)\text{.}\)