Langkah sebelumnya menghasilkan \(x\in C'\text{.}\) Asumsi awal \(C'\subseteq C\) karenanya memberi \(x\in C\text{.}\) Namun titik yang sama dipilih dari \(X\setminus C\text{,}\) sehingga \(x\notin C\text{.}\) Ini kontradiksi. Jadi andaian bahwa \(C\) tidak tertutup harus ditolak; akibatnya \(C\) tertutup. Bersama arah pertama teorema, diperoleh karakterisasi bahwa \(C\) tertutup jika dan hanya jika memuat semua titik limitnya.