Andaikan, demi kontradiksi, bahwa \(a\) bukan titik terasing dari \(A\text{.}\) Maka tidak ada bola berpusat di \(a\) yang irisannya dengan \(A\) hanya \(\{a\}\text{.}\) Jadi, untuk setiap \(n\in\Z^+\text{,}\) kita dapat memilih \(a_n\in (B(a,1/n)\cap A)\setminus\{a\}\text{.}\) Dengan demikian \(d(a_n,a)\lt1/n\) dan \(a_n\neq a\) untuk semua \(n\text{.}\)

Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\gt1/\epsilon\text{.}\) Jika \(n\geq N\text{,}\) maka \(d(a_n,a)\lt1/n\leq1/N\lt\epsilon\text{;}\) jadi \(a_n\to a\text{.}\) Hipotesis sekarang mengharuskan \(a_n=a\) untuk semua indeks yang cukup besar, padahal konstruksi memastikan \(a_n\neq a\) untuk setiap indeks. Kontradiksi tersebut membuktikan bahwa \(a\) titik terasing dari \(A\text{.}\)