Karena \(a\) titik terasing dari \(A\text{,}\) terdapat \(r\gt0\) dengan \(B(a,r)\cap A=\{a\}\text{.}\) Konvergensi \(a_n\to a\text{,}\) diterapkan pada toleransi \(r\text{,}\) memberi \(N\in\Z^+\) sehingga \(d(a_n,a)\lt r\) apabila \(n\geq N\text{.}\) Untuk indeks tersebut, \(a_n\in B(a,r)\text{;}\) karena barisan berada di \(A\text{,}\) juga \(a_n\in A\text{.}\) Jadi \(a_n\in B(a,r)\cap A=\{a\}\text{,}\) dan akibatnya \(a_n=a\) untuk setiap \(n\geq N\text{.}\) Inilah arti bahwa barisan pada akhirnya sama dengan barisan konstan \((a)\text{.}\)