Ambil \(\epsilon\gt0\text{.}\) Menurut sifat Archimedes, pilih \(N\in\Z^+\) dengan \(N\gt1/\epsilon\text{.}\) Jika \(n\geq N\text{,}\) konstruksi panduan 21 memberi
\begin{equation*}
d(a_n,x)\lt\frac1n\leq\frac1N\lt\epsilon.
\end{equation*}
Jadi seluruh ekor mulai dari \(N\) berada dalam \(B(x,\epsilon)\text{.}\) Karena berlaku untuk setiap \(\epsilon\gt0\text{,}\) definisi memberi \(a_n\to x\text{,}\) sehingga \(\lim a_n=x\text{.}\) Syarat \(a_n\neq x\) mempertahankan makna titik limit tanpa mengubah bukti konvergensi.