Pemeriksaan I.50. Konvergensi titik demi titik dan konvergensi seragam.
Misalkan \(X\) adalah himpunan semua fungsi terbatas bernilai real pada \([0,1]\text{,}\) dengan metrik supremum
\begin{equation*}
d_\infty(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|:x\in[0,1]\}.
\end{equation*}
- Untuk \(f_n(x)=x^n\text{,}\) tentukan limit titik demi titik \(f\) pada \([0,1]\text{.}\)
- Hitung \(d_\infty(f_n,f)\text{.}\) Apakah \((f_n)\) konvergen ke \(f\) dalam metrik supremum, yakni secara seragam?
- Untuk pembanding, tetapkan \(g_n(x)=x/n\text{.}\) Buktikan bahwa \((g_n)\) konvergen secara seragam ke fungsi nol. Jelaskan secara umum mengapa konvergensi dalam metrik supremum selalu mengakibatkan konvergensi titik demi titik.