Solusi I.50.1.
Untuk \(x=1\text{,}\) berlaku \(f_n(1)=1\) untuk semua \(n\text{.}\) Jika \(x=0\text{,}\) berlaku \(f_n(0)=0\text{.}\) Jika \(0\lt x\lt1\text{,}\) tetapkan \(r=1/x\gt1\text{.}\) Pertidaksamaan Bernoulli memberi \(r^n\geq1+n(r-1)\text{,}\) sehingga
\begin{equation*}
0\leq x^n=\frac1{r^n}
\leq\frac1{1+n(r-1)}\longrightarrow0.
\end{equation*}
Jadi limit titik demi titiknya adalah
\begin{equation*}
f(x)=\begin{cases}
0 \amp \text{jika }0\leq x\lt1,\\
1 \amp \text{jika }x=1.
\end{cases}
\end{equation*}
Untuk \(0\leq x\lt1\text{,}\) selisihnya adalah \(|f_n(x)-f(x)|=x^n\lt1\text{,}\) sedangkan pada \(x=1\) selisihnya nol. Meskipun nilai \(1\) tidak dicapai oleh selisih tersebut, nilai itu adalah supremumnya. Memang, jika \(0\lt c\lt1\text{,}\) pilih \(x=((1+c)/2)^{1/n}\text{.}\) Maka \(x\lt1\) dan \(x^n=(1+c)/2\gt c\text{.}\) Jadi nilai selisih dapat melampaui setiap \(c\lt1\text{,}\) sementara selalu dibatasi di atas oleh \(1\text{.}\) Dengan demikian,
\begin{equation*}
d_\infty(f_n,f)=1
\end{equation*}
untuk setiap \(n\text{.}\) Jarak ini tidak menuju nol, sehingga \((f_n)\) tidak konvergen ke \(f\) secara seragam.
Untuk \(g_n(x)=x/n\text{,}\) karena \(0\leq x\leq1\text{,}\)
\begin{equation*}
d_\infty(g_n,0)
=\sup_{x\in[0,1]}\left|\frac{x}{n}\right|
=\frac1n\longrightarrow0.
\end{equation*}
Jadi \(g_n\to0\) dalam metrik supremum. Secara umum, jika \(d_\infty(f_n,f)\to0\) dan \(x\in[0,1]\) ditetapkan, maka
\begin{equation*}
|f_n(x)-f(x)|\leq
\sup_{t\in[0,1]}|f_n(t)-f(t)|=d_\infty(f_n,f)\longrightarrow0.
\end{equation*}
Maka \(f_n(x)\to f(x)\) pada setiap titik \(x\text{.}\) Contoh \(x^n\) menunjukkan bahwa implikasi sebaliknya tidak berlaku.