Andaikan \(c_n\to c\text{.}\) Untuk setiap \(n\text{,}\)
\begin{align*}
|a_n-a|
\amp\leq\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}=d_E(c_n,c),\\
|b_n-b|
\amp\leq\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}=d_E(c_n,c).
\end{align*}
Misalkan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Untuk semua \(n\) yang cukup besar, \(d_E(c_n,c)\lt\epsilon\text{;}\) kedua pertidaksamaan di atas kemudian memberi \(|a_n-a|\lt\epsilon\) dan \(|b_n-b|\lt\epsilon\text{.}\) Jadi \(a_n\to a\) dan \(b_n\to b\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan \(a_n\to a\) dan \(b_n\to b\text{.}\) Diberikan \(\epsilon\gt0\text{,}\) ada \(N_a\) sehingga \(|a_n-a|\lt\epsilon/\sqrt2\) untuk \(n\geq N_a\text{,}\) dan ada \(N_b\) sehingga \(|b_n-b|\lt\epsilon/\sqrt2\) untuk \(n\geq N_b\text{.}\) Jika \(n\geq N=\max\{N_a,N_b\}\text{,}\) maka
\begin{equation*}
d_E(c_n,c)
=\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}
\lt\sqrt{\frac{\epsilon^2}{2}+\frac{\epsilon^2}{2}}
=\epsilon.
\end{equation*}
Dengan demikian, \(c_n\to c\text{.}\) Kedua arah membuktikan kesetaraan yang diminta.