Pemeriksaan I.48. Limit dalam subruang dan ruang ambien.
Misalkan \(Y\subseteq X\text{,}\) \((X,d)\) suatu ruang metrik, dan \(d_Y\) adalah metrik subruang, yakni \(d_Y(y_1,y_2)=d(y_1,y_2)\) untuk \(y_1,y_2\in Y\text{.}\)
- Jika \((a_n)\) adalah barisan di \(Y\) dan \(a\in Y\text{,}\) buktikan bahwa \(a_n\to a\) dalam \((Y,d_Y)\) jika dan hanya jika \(a_n\to a\) dalam \((X,d)\text{.}\)
- Untuk \(Y=\Q\subseteq\R=X\text{,}\) tetapkan\begin{equation*} q_n=\frac{\lfloor10^n\sqrt2\rfloor}{10^n}. \end{equation*}Buktikan bahwa \((q_n)\) konvergen dalam ruang ambien \(\R\text{,}\) tetapi tidak konvergen sebagai barisan dalam subruang \(\Q\text{.}\) Jelaskan mengapa hal ini tidak bertentangan dengan bagian pertama.