Solusi I.48.1.
Misalkan \((a_n)\) barisan di \(Y\) dan \(a\in Y\text{.}\) Untuk setiap \(n\text{,}\) definisi metrik subruang memberi \(d_Y(a_n,a)=d(a_n,a)\text{.}\) Karena itu, bagi setiap \(\epsilon\gt0\) dan setiap indeks \(N\text{,}\) pernyataan
\begin{equation*}
d_Y(a_n,a)\lt\epsilon\quad\text{untuk semua }n\geq N
\end{equation*}
setara dengan pernyataan yang sama dengan \(d\) menggantikan \(d_Y\text{.}\) Kuantor dalam kedua definisi limit pun identik, sehingga \(a_n\to a\) di \(Y\) jika dan hanya jika \(a_n\to a\) di \(X\text{.}\)
Untuk contoh, setiap \(q_n\) rasional. Dari \(\lfloor t\rfloor\leq t\lt\lfloor t\rfloor+1\) dengan \(t=10^n\sqrt2\text{,}\) setelah dibagi dengan \(10^n\) diperoleh
\begin{equation*}
0\leq\sqrt2-q_n\lt10^{-n}.
\end{equation*}
Karena \(10^{-n}\to0\text{,}\) untuk setiap \(\epsilon\gt0\) semua suku yang cukup jauh memenuhi \(|q_n-\sqrt2|\lt\epsilon\text{.}\) Jadi \(q_n\to\sqrt2\) dalam ruang ambien \(\R\text{.}\)
Andaikan \((q_n)\) konvergen sebagai barisan di \(\Q\text{.}\) Maka limitnya harus berupa suatu \(q\in\Q\text{.}\) Berdasarkan bagian pertama, \(q_n\to q\) juga dalam \(\R\text{.}\) Akan tetapi, di \(\R\) barisan yang sama sudah terbukti konvergen ke \(\sqrt2\text{.}\) Ketunggalan limit memaksa \(q=\sqrt2\text{,}\) yang mustahil karena \(q\) rasional dan \(\sqrt2\) irasional. Jadi barisan itu tidak konvergen di \(\Q\text{.}\) Tidak ada kontradiksi dengan bagian pertama: limit ambien \(\sqrt2\) tidak berada di subruang \(\Q\text{,}\) sedangkan kesetaraan pada bagian pertama mensyaratkan \(a\in Y\text{.}\)