Pemeriksaan I.47. Menguji kekontinuan dengan barisan.
- Definisikan \(F:(\R,d_E)\to(\R,d_E)\) oleh \(F(x)=x^2\text{.}\) Gunakan pencirian kekontinuan melalui barisan untuk membuktikan bahwa \(F\) kontinu di setiap \(a\in\R\text{.}\) Jangan mengandaikan tanpa bukti bahwa hasil kali limit dapat dipertukarkan.
- Definisikan \(H:\R\to\R\) oleh\begin{equation*} H(x)=\begin{cases} \sin(1/x) \amp \text{jika }x\neq0,\\ 0 \amp \text{jika }x=0. \end{cases} \end{equation*}Temukan satu barisan \((x_n)\) yang konvergen ke \(0\) tetapi \((H(x_n))\) tidak konvergen ke \(H(0)\text{.}\) Simpulkan bahwa \(H\) tidak kontinu di \(0\text{.}\)