Ambil \(a\in\R\) dan sebarang barisan \((x_n)\) dengan \(x_n\to a\text{.}\) Misalkan \(\epsilon\gt0\) dan tetapkan
\begin{equation*}
\delta=\min\left\{1,\frac{\epsilon}{2|a|+1}\right\}.
\end{equation*}
Karena \(x_n\to a\text{,}\) ada \(N\) sehingga \(|x_n-a|\lt\delta\) untuk setiap \(n\geq N\text{.}\) Untuk indeks tersebut, \(|x_n-a|\lt1\text{,}\) sehingga \(|x_n|\leq|a|+1\) dan \(|x_n+a|\leq2|a|+1\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{align*}
|F(x_n)-F(a)|
\amp=|x_n^2-a^2|\\
\amp=|x_n-a||x_n+a|\\
\amp\lt\frac{\epsilon}{2|a|+1}(2|a|+1)
=\epsilon.
\end{align*}
Jadi \(F(x_n)\to F(a)\text{.}\) Hal ini berlaku bagi setiap barisan yang konvergen ke \(a\text{;}\) pencirian melalui barisan menunjukkan bahwa \(F\) kontinu di \(a\text{.}\) Karena \(a\) sebarang, \(F\) kontinu di seluruh \(\R\text{.}\)
Untuk fungsi kedua, tetapkan \(x_n=1/(\pi/2+2\pi n)\text{.}\) Penyebutnya menuju tak hingga, sehingga \(x_n\to0\text{.}\) Namun,
\begin{equation*}
H(x_n)=\sin(\pi/2+2\pi n)=1
\end{equation*}
untuk setiap \(n\text{.}\) Jadi barisan \((H(x_n))\) konvergen ke \(1\text{,}\) bukan ke \(H(0)=0\text{.}\) Satu barisan saksi ini menyangkal syarat barisan yang diperlukan untuk kekontinuan di \(0\text{.}\) Maka \(H\) tidak kontinu di \(0\text{.}\)