Pemeriksaan I.46. Ketunggalan limit dan peran metrik.
- Misalkan \((a_n)\) suatu barisan dalam ruang metrik \((X,d)\text{.}\) Andaikan \((a_n)\) konvergen ke \(L\) dan juga konvergen ke \(M\text{.}\) Buktikan bahwa \(L=M\text{.}\) Tunjukkan dengan jelas di mana sifat metrik dan kedua asumsi konvergensi digunakan.
- Pada himpunan dasar \(X=\R\text{,}\) bandingkan metrik Euklides \(d_E(x,y)=|x-y|\) dengan metrik diskret\begin{equation*} d_D(x,y)=\begin{cases} 0 \amp \text{jika }x=y,\\ 1 \amp \text{jika }x\neq y. \end{cases} \end{equation*}Buktikan bahwa barisan \(a_n=1/n\) konvergen ke \(0\) terhadap \(d_E\text{.}\) Buktikan pula bahwa suatu barisan dalam ruang bermetrik diskret konvergen jika dan hanya jika barisan itu pada akhirnya konstan, lalu tentukan perilaku \((a_n)\) terhadap \(d_D\text{.}\)
- Jelaskan mengapa hasil pada bagian kedua tidak bertentangan dengan ketunggalan limit pada bagian pertama.