Solusi I.46.1.
Andaikan \(L\neq M\text{.}\) Sifat definit positif suatu metrik memberi \(d(L,M)\gt0\text{.}\) Tetapkan \(\epsilon=d(L,M)/3\text{.}\) Karena \(a_n\to L\) dan \(a_n\to M\text{,}\) terdapat \(N_L,N_M\in\Z^+\) sehingga \(d(a_n,L)\lt\epsilon\) untuk \(n\geq N_L\) dan \(d(a_n,M)\lt\epsilon\) untuk \(n\geq N_M\text{.}\) Pilih \(n\geq\max\{N_L,N_M\}\text{.}\) Simetri dan pertidaksamaan segitiga memberi
\begin{equation*}
d(L,M)\leq d(L,a_n)+d(a_n,M)
\lt\frac{2}{3}d(L,M),
\end{equation*}
yang mustahil. Jadi \(L=M\text{.}\)
Misalkan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Berdasarkan sifat Archimedes, pilih \(N\in\Z^+\) dengan \(N\gt1/\epsilon\text{.}\) Jika \(n\geq N\text{,}\) maka
\begin{equation*}
d_E(a_n,0)=\left|\frac1n-0\right|=\frac1n
\leq\frac1N\lt\epsilon.
\end{equation*}
Jadi \(a_n\to0\) dalam \((\R,d_E)\text{.}\)
Sekarang misalkan suatu barisan \((x_n)\) konvergen ke \(L\) terhadap \(d_D\text{.}\) Dengan \(\epsilon=1/2\text{,}\) terdapat \(N\) sehingga \(d_D(x_n,L)\lt1/2\) untuk semua \(n\geq N\text{.}\) Satu-satunya nilai metrik diskret yang lebih kecil daripada \(1/2\) adalah \(0\text{,}\) sehingga \(x_n=L\) untuk setiap \(n\geq N\text{.}\) Jadi barisan tersebut pada akhirnya konstan. Sebaliknya, jika \(x_n=L\) untuk setiap \(n\geq N\text{,}\) maka \(d_D(x_n,L)=0\lt\epsilon\) bagi setiap \(\epsilon\gt0\) dan setiap \(n\geq N\text{;}\) jadi \(x_n\to L\text{.}\)
Suku-suku \(1/n\) semuanya berbeda, sehingga barisan itu tidak pada akhirnya konstan. Maka \((1/n)\) divergen dalam \((\R,d_D)\text{.}\) Teorema ketunggalan mengatakan bahwa suatu barisan tidak mempunyai dua limit berbeda terhadap metrik yang sama. Teorema itu tidak mengatakan bahwa perilaku konvergensi tidak berubah ketika metriknya diganti.