Tahap 1. Jika \(L\neq M\text{,}\) gunakan \(\epsilon=d(L,M)/3\) bagi kedua limit. Pilih satu indeks yang melampaui kedua indeks ambang, lalu terapkan pertidaksamaan segitiga pada lintasan \(L,a_n,M\text{.}\)

Tahap 2. Untuk metrik Euklides, pilih bilangan bulat \(N\gt1/\epsilon\text{.}\)

Tahap 3. Jika suatu barisan konvergen ke \(L\) dalam metrik diskret, terapkan definisi dengan \(\epsilon=1/2\text{.}\) Untuk arah balik, jika semua suku mulai indeks tertentu sama dengan \(L\text{,}\) jaraknya ke \(L\) sama dengan nol.

Tahap 4. Teorema ketunggalan membahas satu ruang metrik yang telah ditetapkan. Di sini struktur metriknya diganti.