Jika \(L\neq M\text{,}\) pilihan \(\epsilon=d(L,M)/3\) dan pertidaksamaan segitiga menghasilkan \(d(L,M)\lt2d(L,M)/3\text{,}\) suatu kontradiksi. Jadi limit dalam satu ruang metrik bersifat tunggal.

Barisan \(1/n\) konvergen ke \(0\) terhadap \(d_E\text{,}\) tetapi divergen terhadap \(d_D\text{.}\) Dalam metrik diskret, syarat \(d_D(a_n,L)\lt1/2\) memaksa \(a_n=L\text{;}\) jadi konvergensi setara dengan sifat pada akhirnya konstan. Ketunggalan limit tidak dilanggar karena kedua kesimpulan dibuat dalam dua ruang metrik yang berbeda.