Jika \(c_n\to(a,b)\text{,}\) maka setiap selisih koordinat tidak melebihi \(d_E(c_n,(a,b))\text{,}\) sehingga keduanya menuju nol. Sebaliknya, andaikan \(a_n\to a\) dan \(b_n\to b\text{.}\) Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih satu ambang sesudah kedua selisih mutlak kurang dari \(\epsilon/\sqrt2\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
d_E(c_n,(a,b))
=\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}\lt\epsilon.
\end{equation*}
Jadi barisan pasangan menuju pasangan limitnya, dan kedua implikasi telah dibuktikan.