Karena \(b_n\to b\neq0\text{,}\) ada \(N_0\) sehingga \(|b_n-b|\lt |b|/2\) bagi \(n\geq N_0\text{;}\) akibatnya \(|b_n|\geq |b|/2\text{.}\) Untuk indeks tersebut,
\begin{equation*}
\left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a}{b}\right|
\leq \frac{2}{|b|}|a_n-a|
+\frac{2|a|}{|b|^2}|b_n-b|.
\end{equation*}
Jika \(a=0\text{,}\) suku kedua hilang. Jika tidak, pilih ambang bagi kedua barisan sehingga masing-masing suku di ruas kanan lebih kecil dari \(\epsilon/2\text{,}\) lalu ambil maksimum bersama \(N_0\text{.}\) Maka selisih hasil bagi lebih kecil dari \(\epsilon\) untuk semua indeks sesudah ambang itu, yang membuktikan limit yang dinyatakan.