Menurut perintah sebelumnya, ada \(M\geq1\) sehingga \(|a_n|\leq M\) untuk semua \(n\text{.}\) Tetapkan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Dari \(b_n\to B\text{,}\) pilih \(N_b\) sehingga \(|b_n-B|\lt\epsilon/(2M)\) jika \(n\geq N_b\text{.}\) Dari \(a_n\to A\text{,}\) pilih \(N_a\) sehingga \(|a_n-A|\lt\epsilon/(2(|B|+1))\) jika \(n\geq N_a\text{.}\) Untuk \(n\geq\max\{N_a,N_b\}\text{,}\)
\begin{equation*}
\begin{aligned}
|a_nb_n-AB|
&=|a_n(b_n-B)+B(a_n-A)|\\
&\leq |a_n|\,|b_n-B|+|B|\,|a_n-A|\\
&\lt M\frac{\epsilon}{2M}
+|B|\frac{\epsilon}{2(|B|+1)}
\lt\epsilon.
\end{aligned}
\end{equation*}
Jadi \(a_nb_n\to AB\text{,}\) atau \(\lim a_nb_n=(\lim a_n)(\lim b_n)\text{.}\)