Tetapkan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Pilih \(N_a\) sehingga \(|a_n-A|\lt\epsilon/2\) untuk \(n\geq N_a\text{,}\) dan pilih \(N_b\) sehingga \(|b_n-B|\lt\epsilon/2\) untuk \(n\geq N_b\text{.}\) Tetapkan \(N=\max\{N_a,N_b\}\text{.}\) Untuk \(n\geq N\text{,}\)
\begin{equation*}
|(a_n+b_n)-(A+B)|
\leq |a_n-A|+|b_n-B|
\lt\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon.
\end{equation*}
Maka \(\lim(a_n+b_n)=A+B=\lim a_n+\lim b_n\text{.}\)