Solusi I.26.1.
Pertama, pertahankan semua hipotesis bagian sebelumnya dan andaikan \(a_n\to a\) dalam \(X\text{,}\) dengan \(a_n,a\in Y\text{.}\) Untuk setiap \(\epsilon\gt0\text{,}\) akhirnya \(d(a_n,a)\lt\epsilon\text{.}\) Karena \(d'(a_n,a)=d(a_n,a)\text{,}\) pertidaksamaan yang sama membuktikan \(a_n\to a\) dalam \(Y\text{.}\) Jadi konvers harfiah itu benar.
Sekarang misalkan \(a_n\in\Q\) dan \(a_n\to\sqrt2\) dalam \(\R\text{.}\) Diberikan \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilih \(N\) sehingga \(|a_k-\sqrt2|\lt\epsilon/2\) untuk setiap \(k\gt N\text{.}\) Jika \(n,m\gt N\text{,}\) pertidaksamaan segitiga memberi
\begin{equation*}
|a_n-a_m|
\leq |a_n-\sqrt2|+|a_m-\sqrt2|
\lt\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon.
\end{equation*}
Jadi barisan itu Cauchy.
Andaikan barisan tersebut konvergen dalam \(\Q\) ke suatu \(q\in\Q\text{.}\) Perintah sebelumnya akan membuatnya konvergen dalam \(\R\) ke \(q\text{.}\) Namun di \(\R\) barisan yang sama sudah konvergen ke \(\sqrt2\text{,}\) dan limit dalam ruang metrik tunggal. Maka harus berlaku \(q=\sqrt2\text{,}\) bertentangan dengan \(q\in\Q\text{.}\) Jadi barisan itu tidak konvergen dalam \(\Q\text{.}\) Contoh ini tidak membantah konvers harfiah, karena limit ambiennya tidak berada dalam subruang.