Ambil \(\epsilon\gt0\text{.}\) Dari \(a_n\to a\) dalam \((Y,d')\text{,}\) terdapat \(N\in\Z^+\) sehingga \(d'(a_n,a)\lt\epsilon\) untuk semua \(n\geq N\text{.}\) Metrik subruang \(d'\) adalah pembatasan \(d\text{,}\) dan \(a_n,a\in Y\text{,}\) maka
\begin{equation*}
d(a_n,a)=d'(a_n,a)\lt\epsilon
\qquad(n\geq N).
\end{equation*}
Ini adalah definisi \(a_n\to a\) dalam \((X,d)\text{.}\) Jadi konvergensi subruang menuju titik subruang selalu memberi konvergensi ambien menuju titik yang sama.