Untuk setiap \(n\text{,}\) pilihan \(a_n\in B_n\cap A\) memastikan \(a_n\in A\text{.}\) Karena \(m\) adalah infimum dari semua jarak \(d(x,a)\) dengan \(a\in A\text{,}\) berlaku \(m\leq d(x,a_n)\text{.}\) Karena \(a_n\in B_n\text{,}\) juga berlaku \(d(x,a_n)\lt m+1/n\text{.}\) Jadi

Ruas kanan menuju nol, sehingga prinsip apit memberi \(d(x,a_n)\to m=d(x,A)\text{.}\) Inilah tepat kesimpulan teorema pada sumber. Yang konvergen di sini adalah barisan bilangan real \((d(x,a_n))\text{;}\) titik-titik \(a_n\) sendiri belum tentu mempunyai limit dalam \(X\text{.}\)