Tetapkan \(n\in\Z^+\text{.}\) Karena \(m=\inf\{d(x,a)\mid a\in A\}\text{,}\) setiap bilangan yang lebih besar daripada \(m\text{,}\) khususnya \(m+1/n\text{,}\) tidak dapat menjadi batas bawah dari himpunan jarak tersebut. Maka terdapat \(a\in A\) sedemikian sehingga \(d(x,a)\lt m+1/n\text{.}\) Menurut definisi bola terbuka, \(a\in B(x;m+1/n)=B_n\text{.}\) Jadi \(a\in B_n\cap A\text{,}\) dan irisan itu tak kosong. Argumen ini tidak menganggap adanya titik \(A\) yang tepat berjarak \(m\) dari \(x\text{.}\)