Dengan suku \(a_m\) dari langkah sebelumnya,
\begin{equation*}
d(a,a')\leq d(a,a_m)+d(a_m,a')
\lt\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}
=\epsilon.
\end{equation*}
Ini berlaku untuk setiap \(\epsilon\gt0\text{.}\) Andaikan \(r=d(a,a')\gt0\text{;}\) memilih \(\epsilon=r/2\) akan memberi \(r\lt r/2\text{,}\) suatu kontradiksi. Jadi \(d(a,a')=0\text{,}\) dan aksioma metrik menyatakan \(a=a'\text{.}\) Dengan demikian limit barisan dalam ruang metrik bersifat tunggal.