Karena \(a_n\to a'\text{,}\) untuk setiap \(\eta\gt0\) ada \(N'\in\Z^+\) sehingga \(d(a_n,a')\lt\eta\) bagi semua \(n\geq N'\text{.}\) Pilih \(\eta=\epsilon/2\text{.}\) Kita memperoleh indeks \(N'\) yang diperlukan. Tidak ada alasan bahwa \(N=N'\text{;}\) langkah berikutnya akan menyatukan kedua ambang tersebut.