Pemeriksaan H.61. Terbuka, tertutup, clopen, dan peran metrik.
Pada himpunan dasar \(X=\R\text{,}\) bandingkan metrik Euklides \(d_E\) dengan metrik diskret
\begin{equation*}
d_D(x,y)=\begin{cases}
0 \amp \text{jika }x=y,\\
1 \amp \text{jika }x\neq y.
\end{cases}
\end{equation*}
Suatu himpunan disebut tertutup jika komplemennya terbuka, dan disebut clopen jika terbuka sekaligus tertutup.
- Terhadap \(d_E\text{,}\) klasifikasikan masing-masing dari \((0,1)\text{,}\) \([0,1]\text{,}\) \([0,1)\text{,}\) \(\emptyset\text{,}\) dan \(\R\) sebagai hanya terbuka, hanya tertutup, clopen, atau tidak terbuka maupun tertutup. Berikan alasan berbasis bola atau komplemen.
- Ulangi klasifikasi terhadap \(d_D\) dan buktikan jawaban Anda untuk subhimpunan sebarang dari \(X\text{.}\)
- Gunakan hasil klasifikasi untuk menyangkal kedua pernyataan: “himpunan tertutup tidak mungkin terbuka” dan “keterbukaan suatu subhimpunan hanya bergantung pada himpunan dasar, bukan pada metriknya.”