Solusi H.60.1.
Berdasarkan hukum gabungan sebarang, \(U_A\) terbuka. Setiap anggota \(\mathcal U_A\) termuat dalam \(A\text{,}\) jadi gabungannya juga termuat dalam \(A\text{.}\) Dengan demikian, untuk setiap \(x\in U_A\) terdapat suatu lingkungan terbuka bagi \(x\) yang termuat dalam \(A\text{;}\) khususnya, \(x\in\Int(A)\text{.}\) Maka \(U_A\subseteq\Int(A)\text{.}\)
Sebaliknya, jika \(x\in\Int(A)\text{,}\) terdapat \(r\gt0\) dengan \(B(x,r)\subseteq A\text{.}\) Bola tersebut terbuka, sehingga \(B(x,r)\in\mathcal U_A\text{.}\) Akibatnya, \(x\in U_A\text{.}\) Jadi \(\Int(A)\subseteq U_A\text{,}\) dan kedua inklusi memberikan \(U_A=\Int(A)\text{.}\)
Kesamaan ini sekaligus menunjukkan kemaksimalan: \(\Int(A)\) terbuka dan termuat dalam \(A\text{,}\) sedangkan setiap himpunan terbuka \(O\subseteq A\) merupakan salah satu anggota \(\mathcal U_A\) dan karenanya memenuhi \(O\subseteq\Int(A)\text{.}\) Karena \(\Int(A)\) terbuka, setiap titiknya merupakan titik interior dari \(\Int(A)\text{.}\) Selalu juga berlaku \(\Int(\Int(A))\subseteq\Int(A)\text{.}\) Oleh sebab itu,
\begin{equation*}
\Int(\Int(A))=\Int(A).
\end{equation*}
Dalam contoh konkret, setiap titik di \((-2,-1)\) mempunyai interval kecil yang termuat dalam \([-2,-1]\text{,}\) dan setiap titik di \((1,4)\) mempunyai interval kecil yang termuat dalam \((1,4]\text{.}\) Tidak satu pun dari titik \(-2,-1,0,4\) mempunyai bola Euklides yang termuat dalam \(A\text{.}\) Jadi \(\Int(A)=(-2,-1)\cup(1,4)\text{.}\) Hasil ini merupakan gabungan dua interval terbuka, sehingga menerapkan interior sekali lagi tidak mengubahnya, sesuai sifat idempoten.