Solusi H.59.1.
Misalkan \(V\subseteq\R\) terbuka. Jika \(F^{-1}(V)\) kosong, prapeta itu terbuka. Jika tidak, ambil titik sebarang \((a,b)\in F^{-1}(V)\text{.}\) Maka \(a+b=F(a,b)\in V\text{.}\) Keterbukaan \(V\) memberikan \(\eta\gt0\) dengan \(B_E(a+b,\eta)\subseteq V\text{.}\)
Misalkan \((u,v)\in B_M((a,b),\eta/2)\text{.}\) Definisi metrik maksimum menghasilkan \(|u-a|\lt\eta/2\) dan \(|v-b|\lt\eta/2\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{align*}
|F(u,v)-F(a,b)|
\amp=|(u+v)-(a+b)|\\
\amp\leq |u-a|+|v-b|\lt\eta.
\end{align*}
Jadi \(F(u,v)\in B_E(a+b,\eta)\subseteq V\text{,}\) sehingga \((u,v)\in F^{-1}(V)\text{.}\) Hal ini membuktikan
\begin{equation*}
B_M((a,b),\eta/2)\subseteq F^{-1}(V).
\end{equation*}
Setiap titik dalam \(F^{-1}(V)\) mempunyai bola domain yang termuat dalam prapeta tersebut. Maka \(F^{-1}(V)\) terbuka. Karena hal ini berlaku untuk setiap himpunan terbuka \(V\subseteq\R\text{,}\) pencirian kekontinuan melalui prapeta menunjukkan bahwa \(F\) kontinu.