Pemeriksaan H.58. Penajaman lokal oleh basis bola terbuka.

Misalkan \(\mathcal B=\{B(c,r):c\in X,\ r\gt0\}\) adalah keluarga semua bola terbuka dalam ruang metrik \((X,d)\text{.}\)
  1. Jika \(x\in B(a,r)\cap B(b,s)\text{,}\) buktikan bahwa
    \begin{equation*} t=\min\{r-d(a,x),\ s-d(b,x)\} \end{equation*}
    positif dan bahwa \(B(x,t)\subseteq B(a,r)\cap B(b,s)\text{.}\)
  2. Jelaskan mengapa hasil tersebut, bersama fakta bahwa setiap titik berada dalam suatu bola terbuka, memverifikasi sifat tumpang tindih lokal yang diperlukan agar \(\mathcal B\) menjadi basis.
  3. Buktikan pencirian berikut: \(O\subseteq X\) terbuka jika dan hanya jika untuk setiap \(x\in O\) terdapat \(B\in\mathcal B\) dengan \(x\in B\subseteq O\text{.}\) Nyatakan pula \(O\) sebagai gabungan bola-bola basis tersebut.
Petunjuk.Jawaban.Solusi.
in-context