Solusi H.58.1.
Karena \(x\in B(a,r)\) dan \(x\in B(b,s)\text{,}\) berlaku \(d(a,x)\lt r\) dan \(d(b,x)\lt s\text{.}\) Jadi kedua bilangan \(r-d(a,x)\) dan \(s-d(b,x)\) positif, demikian pula minimumnya \(t\text{.}\) Jika \(y\in B(x,t)\text{,}\) maka
\begin{align*}
d(a,y)\amp\leq d(a,x)+d(x,y)\\
\amp\lt d(a,x)+t\leq r.
\end{align*}
Dengan cara yang sama, \(d(b,y)\lt s\text{.}\) Jadi \(y\in B(a,r)\cap B(b,s)\text{,}\) dan karena \(y\) sebarang, \(B(x,t)\subseteq B(a,r)\cap B(b,s)\text{.}\)
Setiap titik \(x\in X\) berada dalam anggota basis \(B(x,1)\text{.}\) Selain itu, jika dua anggota \(\mathcal B\) bertumpang tindih pada \(x\text{,}\) perhitungan di atas menghasilkan anggota basis ketiga yang memuat \(x\) dan termuat dalam irisan keduanya. Inilah sifat penajaman lokal untuk suatu basis.
Jika \(O\) terbuka dan \(x\in O\text{,}\) kriteria bola memberikan \(r_x\gt0\) dengan \(B(x,r_x)\subseteq O\text{.}\) Karena pusat selalu berada dalam bolanya sendiri,
\begin{equation*}
O=\bigcup_{x\in O}B(x,r_x).
\end{equation*}
Untuk \(O=\emptyset\text{,}\) ruas kanan adalah gabungan kosong dan kesamaan tetap berlaku. Sebaliknya, jika setiap \(x\in O\) berada dalam suatu bola basis \(B_x=B(c_x,r_x)\subseteq O\text{,}\) maka \(\rho_x=r_x-d(c_x,x)\gt0\text{.}\) Pertidaksamaan segitiga memberi \(B(x,\rho_x)\subseteq B_x\subseteq O\text{,}\) sehingga kriteria bola berlaku di \(x\) dan \(O\) terbuka. Kesamaan \(O=\bigcup_{x\in O}B_x\) mengikuti dari \(x\in B_x\subseteq O\) untuk setiap \(x\in O\text{.}\)