Pemeriksaan H.57. Gabungan sebarang, irisan berhingga, dan batas kegagalannya.

1. Buktikan langsung dengan kriteria bola bahwa gabungan sebarang keluarga himpunan terbuka dalam \(X\) bersifat terbuka.
2. Buktikan bahwa irisan berhingga himpunan-himpunan terbuka dalam \(X\) bersifat terbuka. Sertakan kasus irisan atas keluarga kosong.
3. Dalam \((\R,d_E)\text{,}\) tetapkan \(U_n=(-1/n,1+1/n)\) untuk \(n\in\Z^+\text{.}\) Tentukan dan buktikan nilai \(\bigcap_{n=1}^{\infty}U_n\text{,}\) lalu jelaskan mengapa hasilnya menyangkal pernyataan serupa untuk irisan tak berhingga.