Solusi H.57.1.
Misalkan \(\{O_\alpha\}_{\alpha\in I}\) suatu keluarga himpunan terbuka dan \(O=\bigcup_{\alpha\in I}O_\alpha\text{.}\) Jika \(x\in O\text{,}\) terdapat \(\alpha_0\in I\) dengan \(x\in O_{\alpha_0}\text{.}\) Karena \(O_{\alpha_0}\) terbuka, ada \(r\gt0\) sehingga \(B(x,r)\subseteq O_{\alpha_0}\subseteq O\text{.}\) Jadi \(O\) terbuka. Jika \(I\) kosong, gabungannya adalah \(\emptyset\text{,}\) yang terbuka karena tidak mempunyai titik yang melanggar kriteria bola.
Sekarang misalkan \(O_1,\ldots,O_k\) terbuka dengan \(k\geq1\text{,}\) dan ambil \(x\in\bigcap_{i=1}^kO_i\text{.}\) Untuk setiap \(i\text{,}\) terdapat \(r_i\gt0\) dengan \(B(x,r_i)\subseteq O_i\text{.}\) Bilangan \(r=\min\{r_1,\ldots,r_k\}\) positif, dan
\begin{equation*}
B(x,r)\subseteq\bigcap_{i=1}^kO_i.
\end{equation*}
Maka irisannya terbuka. Irisan keluarga kosong adalah seluruh ruang \(X\text{,}\) yang terbuka karena \(B(x,1)\subseteq X\) untuk setiap \(x\in X\text{.}\)
Untuk contoh tak berhingga, setiap \(x\in[0,1]\) memenuhi \(-1/n\lt x\lt1+1/n\) bagi semua \(n\geq1\text{.}\) Jadi \([0,1]\subseteq\bigcap_{n=1}^{\infty}U_n\text{.}\) Jika \(x\lt0\text{,}\) pilih \(n\gt-1/x\text{;}\) maka \(x\leq-1/n\text{,}\) sehingga \(x\notin U_n\text{.}\) Jika \(x\gt1\text{,}\) pilih \(n\gt1/(x-1)\text{;}\) maka \(x\geq1+1/n\text{,}\) sehingga lagi-lagi \(x\notin U_n\text{.}\) Oleh karena itu, \(\bigcap_{n=1}^{\infty}U_n=[0,1]\text{.}\)
Himpunan \([0,1]\) tidak terbuka dalam \((\R,d_E)\text{:}\) setiap bola berjari-jari positif yang berpusat di \(0\) memuat bilangan negatif. Jadi, tidak ada hukum keterbukaan untuk irisan tak berhingga yang sepadan dengan hukum irisan berhingga.