Ambil \(a\in V_p\text{.}\) Definisi \(V_p\) memberikan \(d(a,p)\lt d(a,q)\text{,}\) sehingga
\begin{equation*}
r_a=\frac{d(a,q)-d(a,p)}{2}\gt0.
\end{equation*}
Misalkan \(x\in B(a,r_a)\text{.}\) Pertidaksamaan segitiga dan bentuk baliknya memberikan
\begin{align*}
d(x,p)\amp\leq d(x,a)+d(a,p)\\
\amp\lt r_a+d(a,p)
=\frac{d(a,q)+d(a,p)}{2},
\end{align*}
sedangkan
\begin{align*}
d(x,q)\amp\geq d(a,q)-d(x,a)\\
\amp\gt d(a,q)-r_a
=\frac{d(a,q)+d(a,p)}{2}.
\end{align*}
Maka \(d(x,p)\lt d(x,q)\text{,}\) jadi \(x\in V_p\text{.}\) Karena \(x\) dipilih sebarang, \(B(a,r_a)\subseteq V_p\text{.}\)