Solusi H.54.1.
Untuk \(p=(x,y)\) dan \(q=(u,v)\text{,}\) tuliskan \(s=|x-u|\) dan \(t=|y-v|\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
d_E(p,q)=\sqrt{s^2+t^2}\leq s+t=d_T(p,q)
\leq\sqrt{2}\sqrt{s^2+t^2}=\sqrt{2}\,d_E(p,q).
\end{equation*}
Andaikan \(O\) terbuka terhadap \(d_E\text{.}\) Untuk \(p\in O\text{,}\) pilih \(r\gt0\) dengan \(B_{d_E}(p,r)\subseteq O\text{.}\) Pertidaksamaan pertama memberi \(B_{d_T}(p,r)\subseteq B_{d_E}(p,r)\text{,}\) jadi \(O\) terbuka terhadap \(d_T\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan \(O\) terbuka terhadap \(d_T\text{.}\) Untuk \(p\in O\text{,}\) pilih \(r\gt0\) dengan \(B_{d_T}(p,r)\subseteq O\text{.}\) Jika \(d_E(p,q)\lt r/\sqrt2\text{,}\) maka \(d_T(p,q)\leq\sqrt{2}\,d_E(p,q)\lt r\text{.}\) Jadi \(B_{d_E}(p,r/\sqrt2)\subseteq B_{d_T}(p,r)\subseteq O\text{.}\) Dengan demikian \(O\) juga terbuka terhadap \(d_E\text{,}\) dan bikondisional tersebut terbukti.