Tetapkan \(x_0\in\R\) dan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Jika \(a=0\text{,}\) \(f\) konstan dan kontinu. Andaikan \(a\neq0\text{,}\) lalu pilih
\begin{equation*}
\delta=\frac{\epsilon}{|a|+\epsilon}.
\end{equation*}
Karena pembilang dan penyebut positif serta penyebut lebih besar, \(0\lt\delta\lt1\text{.}\)
Jika \(d(x,x_0)\lt\delta\) dan \(t=|x-x_0|\text{,}\) maka
\begin{equation*}
\frac{t}{t+1}\lt\delta
\quad\Longrightarrow\quad
t\lt\frac{\delta}{1-\delta}
=\frac{\epsilon}{|a|}.
\end{equation*}
Oleh sebab itu jarak Euklides di kodomain memenuhi
\begin{equation*}
d_E(f(x),f(x_0))=|a||x-x_0|=|a|t\lt\epsilon.
\end{equation*}
Maka \(f\) kontinu di setiap \(x_0\text{,}\) untuk seluruh \(a,b\in\R\) yang dikuantifikasi dalam sumber.