Andaikan \(a\neq0\) dan pilih \(\delta=\epsilon/|a|\gt0\text{.}\) Jika \(d_E(x,x_0)=|x-x_0|\lt\delta\text{,}\) maka, dengan \(t=|f(x)-f(x_0)|=|a||x-x_0|\text{,}\)
\begin{equation*}
d(f(x),f(x_0))=\frac{t}{t+1}\leq t
=|a||x-x_0|\lt |a|\delta=\epsilon.
\end{equation*}
Jadi \(f\) kontinu di \(x_0\text{.}\) Karena \(x_0\) sebarang, \(f:X\to Y\) kontinu untuk semua \(a,b\in\R\text{.}\) Suku translasi \(b\) hilang dari selisih, tetapi tetap bagian dari formula yang dibuktikan.