Solusi H.45.1.
Ambil \(x\in\R\) dan tuliskan \(t=|x-c|\geq0\text{.}\) Jika \(0\lt\delta\lt1\text{,}\) maka
\begin{gather*}
d(x,c)\lt\delta\\
\Longleftrightarrow \frac{t}{t+1}\lt\delta\\
\Longleftrightarrow (1-\delta)t\lt\delta\\
\Longleftrightarrow t\lt\frac{\delta}{1-\delta}.
\end{gather*}
Jadi
\begin{equation*}
B(c,\delta)=
\left(c-\frac{\delta}{1-\delta},
c+\frac{\delta}{1-\delta}\right)
\quad(0\lt\delta\lt1).
\end{equation*}
Untuk setiap \(t\geq0\text{,}\) berlaku \(t/(t+1)\lt1\text{.}\) Maka jika \(\delta\geq1\text{,}\) setiap \(x\in\R\) memenuhi \(d(x,c)\lt\delta\text{,}\) termasuk ketika \(\delta=1\) karena pertidaksamaannya tetap ketat pada jarak. Jadi \(B(c,\delta)=\R\) untuk \(\delta\geq1\text{.}\)