Solusi H.42.1.
Andaikan \(f\) kontinu dan ambil sebarang \(B\subseteq Y\text{.}\) Himpunan \(\Int(B)\) terbuka dalam \(Y\text{,}\) sehingga \(f^{-1}(\Int(B))\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Karena \(\Int(B)\subseteq B\text{,}\) berlaku \(f^{-1}(\Int(B))\subseteq f^{-1}(B)\text{.}\) Setiap himpunan terbuka yang termuat dalam \(f^{-1}(B)\) termuat dalam interiornya. Maka
\begin{equation*}
f^{-1}(\Int(B))\subseteq\Int(f^{-1}(B)).
\end{equation*}
Sebaliknya, andaikan inklusi tersebut berlaku untuk setiap \(B\subseteq Y\text{.}\) Ambil himpunan terbuka sebarang \(O\subseteq Y\) dan pilih \(B=O\text{.}\) Karena \(\Int(O)=O\text{,}\) hipotesis memberi \(f^{-1}(O)\subseteq\Int(f^{-1}(O))\text{.}\) Inklusi sebaliknya selalu berlaku dari definisi interior, jadi \(f^{-1}(O)=\Int(f^{-1}(O))\text{.}\) Dengan hasil perintah keempat, \(f^{-1}(O)\) terbuka. Prapeta setiap himpunan terbuka terbuka, maka \(f\) kontinu.