Solusi H.41.1.
Jika \(S=\emptyset\text{,}\) maka \(\R^2\setminus S=\R^2\text{,}\) yang terbuka. Andaikan sekarang \(S\neq\emptyset\) dan ambil sebarang \(p\in\R^2\setminus S\text{.}\) Untuk setiap \(s\in S\text{,}\) berlaku \(d_E(p,s)\gt0\text{.}\) Karena \(S\) berhingga dan tidak kosong, minimum
\begin{equation*}
r=\min\{d_E(p,s)\mid s\in S\}
\end{equation*}
ada dan positif.
Jika suatu \(s\in S\) berada dalam \(B_{d_E}(p,r)\text{,}\) maka \(d_E(p,s)\lt r\text{.}\) Hal ini bertentangan dengan definisi \(r\leq d_E(p,s)\text{.}\) Jadi bola itu tidak beririsan dengan \(S\text{,}\) atau \(B_{d_E}(p,r)\subseteq\R^2\setminus S\text{.}\) Setiap titik komplemen adalah titik interior, maka komplemen tersebut terbuka.