Dari definisi lingkungan, pilih \(\epsilon\gt0\) sehingga \(B(f(a),\epsilon)\subseteq N\text{.}\) Prapeta mempertahankan inklusi, jadi
\begin{equation*}
f^{-1}(B(f(a),\epsilon))
\subseteq f^{-1}(N).
\end{equation*}
Langkah sebelumnya menunjukkan bahwa himpunan di kiri merupakan lingkungan bagi \(a\text{;}\) maka ia memuat suatu \(B_X(a,\delta)\text{.}\) Rantai inklusi memberi \(B_X(a,\delta)\subseteq f^{-1}(N)\text{,}\) sehingga \(f^{-1}(N)\) juga lingkungan bagi \(a\text{.}\) Karena \(a\in X\) dan lingkungan \(N\) bagi \(f(a)\) dipilih sebarang, pencirian melalui lingkungan menyimpulkan bahwa \(f\) kontinu.